Cuando tenía siete u ocho años, mis padres me dijeron que el Universo era infinito, con muchas estrellas como el Sol. Me lo imaginé como una de esas peceras rectas, llena de espacio color azul marino y puntitos luminosos. Y me pregunté qué había más allá del borde de la pecera. No existía tal borde. Imaginé una pecera más grande… ¿y más allá? Repetí mentalmente la operación de agrandar la pecera durante toda una semana, hasta que finalmente sus paredes desaparecieron y se extendió, interminable, ante a mi fascinada mente infantil, el Universo. O, dicho en difícil, el espacio euclidiano.

El espacio euclidiano es el de la geometría escolar, en el que las rectas son rectas, los planos planos, y los ángulos de un triángulo suman ciento ochenta grados. Es posible verlo con ayuda de un curioso ingenio que encontré en un museo: un cubo, cuyas paredes interiores están revestidas de espejos, y que tiene un hoyo en el que uno mete la cabeza. Lleva su nombre en honor a Euclides, quien ciertamente no inventó ni los puntos ni las rectas, pero que, tres siglos antes de Cristo, en su famoso tratado intitulado Elementos reunió los conocimientos de geometría conocidos en su época y les dio forma de teoría axiomática; es decir, enunció cuidadosamente ciertos postulados de los que dedujo las propiedades de los objetos geométricos-creando además el modelo según el cual, en adelante, se trataría de organizar el conocimiento matemático .

La axiomatización de la geometría, que fue sustancialmente mejorada en los siglos posteriores a Euclides, respondía a necesidades lógicas y estéticas, y era considerada la manera correcta de escribir un cuerpo de conocimiento que se sabía verdadero. Tenía, sin embargo, un feo defecto: todos los postulados de Euclides eran afirmaciones sumamente simples, excepto el quinto, el "patito feo", que decía más o menos que "dados una recta y un punto exterior a ella, hay una y sólo una paralela a la recta por el punto". Hasta el siglo XIX (¡más de veinte siglos después de Euclides!), los matemáticos estuvieron convencidos de que este postulado, que era evidentemente verdadero, podía ser deducido de los demás, e, incapaces de hacer esto, lo tomaban como una especie de "teorema empírico". Incansables, intentaban probar el quinto postulado por "reducción al absurdo": de los demás postulados y la negación del quinto pretendían deducir una contradicción… generando teorías con teoremas tan insólitos como que "hay un triángulo con lados de longitud infinita y ángulos iguales a cero", que, constituyendo atentados contra el sentido común, no encerraban ninguna contradicción lógica evidente.

Finalmente, en el siglo XIX, algún matemático muy audaz, que pudo haber sido Lobachevsky, o Gauss, o Riemann, sugirió que posiblemente el quinto postulado de Euclides no fuera consecuencia de los otros, y que esas teorías con rectas curvas y triángulos flacos no fueran sino nuevas geometrías que eran lógicamente tan válidas como la del mundo real, contenida en los Elementos.

Es difícil imaginar lo que esta afirmación significó en su época. Hasta entonces, la matemática era prácticamente una de las ciencias naturales, era una manera de describir el mundo. La imposibilidad de distinguir, desde el punto de vista matemático, una teoría que caracterizaba el espacio en que vivimos de otra en que las rectas eran curvas, los planos ni hablemos y los ángulos de los triángulos podían sumar cualquier cosa, hizo que se divorciara para siempre la verdad física de la verdad matemática. La verdad matemática es caprichosa, sólo tiene sentido en el contexto de una teoría; se ocupa de la coherencia, pero es incapaz de distinguir la realidad de un disparate. Hasta el siglo XIX, los matemáticos fueron físicos; desde entonces, han elaborado teorías que coexisten siendo igualmente válidas y diciendo cosas contrarias, geometrías fantásticas, sistemas para contar los infinitos, números que no son de ninguna utilidad en el mercado: lo que cualquier persona sensata llamaría ficciones.

Está por ejemplo la geometría hiperbólica, en la que el famoso artista holandés M.C.Escher era un verdadero experto. Los cofrades pueden ver el plano hiperbólico o disco de Ponicaré en su obra Paraíso e Infierno (en la figura), en que todos los ángeles y todos los demonios son del mismo tamaño. (Sí, leíste bien.) Aquí las "rectas" son los pedazos de círculo que llegan perpendicularmente al borde del disco, los ángulos de un triángulo pueden sumar cualquier cantidad menor a ciento ochenta grados, y pasan infinitas paralelas a una recta por cualquier punto exterior a ella.

La geometría esférica nos es familiar a quienes somos posteriores a Magallanes. Todos sabemos que si queremos ir de Quito a Nairobi yendo "derechito", no vamos en línea recta sino siguiendo el Ecuador, y que si nos llegáramos a pasar regresaríamos al punto del que partimos. Una superficie esférica, como la del globo terráqueo, tiene una geometría en que la distancia más corta se alcanza yendo por círculos máximos-que en este caso son "las rectas"-, los ángulos de un triángulo suman más de ciento ochenta grados y no hay paralelas, pues todas las "rectas" se cortan. (¿Puedes imaginar un espacio tridimensional en el que tomas una nave que, yendo "derecho", tras unos años llega exactamente al punto del que partió? ¿Tras cuántas copas?)

Las geometrías no euclidianas siguieron siendo estudiadas, y se convirtieron en teorías hermosas y divertidas, que vivían en ese mundo donde viven las ficciones, hasta que a principios del siglo XX el Universo dejó de ser plano. El físico Albert Einstein afirmó que el espacio en el que vivimos no es euclidiano, sino que se curva en presencia de objetos masivos, y que cuando una partícula cae hacia uno de estos objetos por acción de la gravedad, no hace sino ir por las "líneas rectas", comúnmente llamadas "geodésicas", de este espacio curvado. La luz viaja también por las geodésicas, y el primer físico en "ver" una geodésica no euclidiana fue Arthur Eddington, que en el año 1919, durante un eclipse total de sol, midió el cambio en la posición aparente de una estrella producido por el desvío de la luz de ésta al pasar cerca del sol.

Por supuesto, la curvatura del espacio es inapreciable a la escala de nuestra vida cotidiana, y el espacio nos parece no diferir del de la geometría escolar por razones idénticas a las que tenían casi todos los hombres anteriores al Renacimiento para creer que la Tierra era plana.

Pero la vida cotidiana de muchos físicos sucede a escalas cósmicas, y ellos se hacen preguntas como si las rectas en el Universo se cierran-como en una esfera-o continúan indefinidamente. Y a los matemáticos no les preocupa la geometría del Universo, sino el poder entender muchos universos fantásticos, insólitos, fascinantes, y quizá -quién sabe, ¿no?-posibles.