La Cuadratura del Círculo. Obsesión de matemáticos y alquimistas. De griegos, egipcios, hindúes, chinos y europeos. De científicos y aficionados. De hombres antiguos y modernos. De los famosos y los olvidados. De los que aceptaron uno de los más grandes retos de la historia.

Nuestro rastro del problema conocido como La Cuadratura del Círculo comienza en el año 1650 A.C. con el papiro de Rhind, donde el escriba egipcio Ahmes transcribe un documento al menos dos siglos anterior - y cuyo origen, según algunos expertos, podría remontarse a 3400 A.C. - que trata sobre el cálculo del número p. Sin embargo, los griegos, los más grandes geómetras de la Antigüedad, nos legaron la formulación que damos actualmente a este problema:

¿Es posible, teniendo un círculo, dibujar un cuadrado con la misma área que éste utilizando únicamente una regla - sin marcas - y un compás?

Tantos y tan distinguidos geómetras griegos (entre ellos Arquímedes y Anaxágoras) se interesaron por esta aparentemente banal cuestión, que acuñaron el término tetragonidzein para referirse a aquel que se ocupa de la cuadratura del círculo.

Quizás la mayor contribución de esta época haya sido la de Hipócrates de Chios (460-380 A.C.), que no debe ser confundido con su famosísimo contemporáneo Hipócrates de Cos, el padre de la medicina. Nuestro Hipócrates, comerciante que llegó a Atenas para participar en un juicio y permaneció allí durante más de veinte años, adquirió tal dominio de la geometría que fue uno de los primeros griegos en hacer de la enseñanza de la matemática su fuente de ingresos. Según Proclo, Hipócrates redactó un tratado sobre geometría que antecedió en más de un siglo a los Elementos de Euclides, y a él se atribuyen los hábitos de escribir la geometría en una serie de proposiciones, cada una de las cuales se deduce de las anteriores, y de nombrar con letras del alfabeto a las rectas y los puntos. Obsesionado por la Cuadratura del Círculo, logró la cuadratura de ciertas lunas y de una luna y un círculo.

Un hecho notable es que los griegos no produjeron pruebas falsas de la Cuadratura del Círculo… Y esto es mucho más de lo que se puede decir de quienes, en siglos posteriores, carecían de una comprensión de la geometría tan profunda como la de ellos. En 1775, tanta gente creía haber logrado la cuadratura del círculo que la Academia Francesa de Ciencias tomó la resolución de no examinar más "soluciones" al antiguo problema, y poco después fue imitada por la Royal Society de Londres.

Muchos contemporáneos de los griegos fueron también hechizados por este problema, sobre todo en India y China, entre los que destacó el matemático Chino Lui Hsiao, de la dinastía Han, alrededor de 25 D.C. Posteriormente, en el mundo árabe, al-Haytham fue un entusiasta convencido de que era posible lograr la Cuadratura del Círculo con regla y compás. En Occidente, el interés de carácter matemático que siguió despertando este tema durante la Edad Media se ve reflejado en el tratado De quadratura circuli, que escribió Franco de Liège en 1050. Sin embargo, durante la Edad Media la Cuadratura del Círculo se convirtió en una preocupación esencial de los alquimistas, y de sectas esotéricas que le atribuían un profundo significado místico. Con el Renacimiento, floreció el estudio del legado cultural de la Antigüedad, y pensadores tan destacados como Leonardo intentaron nuevamente resolver la Cuadratura del Círculo por los métodos "mecánicos" griegos.   

Un paso decisivo en esta historia fue dado por el gran matemático alemán Karl Gauss (1777-1855), que tradujo el problema geométrico planteado por los griegos en un problema algebraico. Era posible lograr la Cuadratura del Círculo sólo si el número pi se podía obtener de los números enteros usando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíz cuadrada. Para poseer esta propiedad es necesario pertenecen a una clase de números llamados algebraicos, por lo que los números que no son algebraicos, llamados trascendentes, nunca podrán ser "dibujados" con regla y compás.

La nueva pregunta que se hicieron los matemáticos posteriores a Gauss es: ¿es pi trascendente? Y esta formulación del problema los puso en la recta final. El primer paso importante aunque no decisivo, y que sugería una respuesta afirmativa a esta pregunta, fue dado en 1761 cuando Lambert probó que p es irracional. Finalmente, Lindemann acabó en 1880 con un problema milenario, probando la trascendencia de p. Desde entonces, cualquier matemático en su sano juicio sabe lo que quizás los griegos ya sospechaban: que no es posible, usando únicamente regla y compás, y teniendo un círculo, dibujar un cuadrado con la misma área de éste.

Cualquier matemático en su sano juicio, dije. Sin embargo, la febril obsesión por este problema está lejos de haber muerto. No sólo el Procurador Paravant, personaje de La Montaña Mágica, desconfía de los argumentos algebraicos y cree que (parafraseando a Thomas Mann) la Providencia lo ha elegido para transformar ese problema insoluble en una de las posibilidades terrenales.

"BONUS TRACK 1"
COMO SI FUERA POCO…

No sólo la Cuadratura del Círculo fascinaba a los griegos. Dos problemas "hermanos" de éste, que igualmente son insolubles, son La Trisección del Ángulo y La Duplicación del Altar (o Duplicación del Cubo). Nuevamente, el requisito que los griegos imponían es que fueran resueltos utilizando únicamente regla y compás.

La trisección del ángulo consiste en, teniendo el dibujo de un ángulo cualquiera, trazar uno que sea un tercio de éste. La bisección del ángulo es un problema sencillo que los griegos ya habían resuelto, y nada hacía sospechar que esta aparentemente pequeña variante convertiría la empresa en imposible.

La duplicación del altar es un importante problema de matemática aplicada: en el año 430 A.C., en que una terrible peste azotaba a Atenas y había causado la muerte del líder Pericles, el oráculo de Delos profetizó que la peste cesaría cuando el altar de Apolo fuera duplicado. Siendo el altar cúbico, se construyó un cubo cuya arista era el doble de la anterior… lo que no hizo sino enfurecer al dios y hacer la peste más virulenta. Cuando el error fue comprendido, Platón fue consultado, y opinó que "el dios dio este oráculo no porque quisiera un altar de tamaño doble, sino porque quería, asignando esta tarea, reprochar a los griegos su descuido de la matemática y su desinterés por la geometría". (Por supuesto que hay espíritus prosaicos que sostienen que, una vez resuelto el problema de la duplicación del cuadrado, era natural intentar la duplicación del cubo… Tal negación de la verdad histórica ni siquiera merece nuestra atención.)


"BONUS TRACK 2"
EN EL LENGUAJE COMÚN…

La imposibilidad de resolver la Cuadratura del Círculo, y el ahínco que tantos han puesto en esta empresa, ha llevado la expresión La Cuadratura del Círculo al lenguaje común, con la acepción "tarea desesperada, sin sentido, vana".